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Kerstin Hesse

University of South Wales

Optimale Fehlerabschätzungen für Integration auf der Sphäre in Sobolevräumen

Abstract: Dieser Vortrag stellt neue Resultate über Integration auf der Sphäre in Sobolevräumen vor, die in Zusammenarbeit mit Ian H.Sloan entstanden sind. Wir zeigen, dass der Fehler einer -Punkt-Integrationsformel im Sobolevraum , , die optimale Ordnung besitzt. Um dies zu erreichen, brauchen wir zwei Resultate: Einerseits wird gezeigt, dass der Integrationsfehler für jede -Punkt-Integrationsformel die Abschätzung erfüllt mit einer Konstante , die nicht von der speziellen Integrationsformel abhängt (Abschätzung nach unten). Andererseits wird die optimale Ordnung des Integrationsfehlers nach oben abgeschätzt, indem eine (unendliche) Folge von -Punkt-Integrationsformeln (wobei aus einer unendlichen Teilmenge von ist) identifiziert wird, für die der Integrationsfehler nach oben durch beschränkt ist.

Um die untere Schranke für den Integrationsfehler zu beweisen, wird für jede -Punkt-Integrationsformel eine Funktion konstruiert mit , für welche der Integrationsfehler (von ) in nach unten durch abgeschätzt werden kann. Dabei hängt die Konstante nicht von (aber sehr wohl von ) ab. Die Funktionen werden geometrisch konstruiert, wobei Resultate über das Packen einer Sphäre mit sphärischen Kappen ausgenutzt werden. Überraschenderweise kann dieselbe Funktion (für ) in allen Sobolevräumen , , verwendet werden.

Um eine obere Schranke für zu bekommen, werden (unendliche) Folgen von -Punkt-Integrationsformeln identifiziert, für die der Integrationsfehler die Ordnung hat für . In unserem Beweis verwenden wir Folgen von Integrationsformeln mit folgenden Eigenschaften: (i) ist eine -Punkt-Integrationsformel, (ii) integriert sphärische Polynome vom Grad exakt, (iii) hat nur positive Gewichte (oder ihre Punkte und Gewichte erfüllen eine gewisse Regularitätseigenschaft) und (iv) . Das Abschätzen des Integrationsfehlers für eine solche Folge von Integrationsformeln ist keineswegs trivial und benötigt ein neuartiges Argument, welches eine relativ ungewöhnliche und sehr nützliche Darstellung des Integrationsfehlers in liefert.

Beispiele für Folgen von Integrationsformeln, welche die im letzten Abschnitt aufgezählten Eigenschaften haben, sind Produkt-Gauss-Formeln, und - unter der Annahme, dass alle Gewichte positiv sind - auch die Integrationsformeln von Lebedev (basierend auf dem Sobolev Theorem) und auch interpolatorische Integrationsformeln für extremale Fundamentalsysteme.

Zeit: Freitag, 12. Dezember 2003, 16.00 Uhr (Kaffee/Tee um 15.30)
Ort: FU Berlin, Arnimallee 2-6, Raum 032 im EG

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