Um die untere Schranke für den Integrationsfehler zu beweisen, wird für
jede -Punkt-Integrationsformel
eine Funktion
konstruiert mit
, für welche der Integrationsfehler (von
)
in
nach unten durch
abgeschätzt werden kann.
Dabei hängt die Konstante
nicht von
(aber sehr wohl von
) ab. Die Funktionen
werden geometrisch konstruiert, wobei Resultate über das Packen einer
Sphäre mit sphärischen Kappen ausgenutzt werden. Überraschenderweise
kann dieselbe Funktion
(für
) in allen Sobolevräumen
,
, verwendet werden.
Um eine obere Schranke für zu bekommen, werden (unendliche)
Folgen
von
-Punkt-Integrationsformeln identifiziert, für die
der Integrationsfehler
die Ordnung
hat für
. In unserem Beweis verwenden wir Folgen von
Integrationsformeln
mit folgenden Eigenschaften:
(i)
ist eine
-Punkt-Integrationsformel, (ii)
integriert sphärische Polynome vom Grad
exakt, (iii)
hat nur positive Gewichte (oder ihre Punkte und Gewichte erfüllen eine
gewisse Regularitätseigenschaft) und (iv)
.
Das Abschätzen des Integrationsfehlers für eine solche Folge von
Integrationsformeln ist keineswegs trivial und benötigt ein neuartiges
Argument, welches eine relativ ungewöhnliche und sehr nützliche
Darstellung des Integrationsfehlers in
liefert.
Beispiele für Folgen von Integrationsformeln, welche die im letzten Abschnitt aufgezählten Eigenschaften haben, sind Produkt-Gauss-Formeln, und - unter der Annahme, dass alle Gewichte positiv sind - auch die Integrationsformeln von Lebedev (basierend auf dem Sobolev Theorem) und auch interpolatorische Integrationsformeln für extremale Fundamentalsysteme.
Zeit: | Freitag, 12. Dezember 2003, 16.00 Uhr (Kaffee/Tee um 15.30) |
Ort: | FU Berlin, Arnimallee 2-6, Raum 032 im EG |