Kerstin Hesse
University of South Wales
Optimale Fehlerabschätzungen für Integration auf der Sphäre in Sobolevräumen
Abstract: Dieser Vortrag stellt neue Resultate über Integration auf der Sphäre
in Sobolevräumen vor, die in Zusammenarbeit mit Ian H.Sloan
entstanden sind. Wir zeigen, dass der Fehler
einer
-Punkt-Integrationsformel
im Sobolevraum
,
,
die optimale Ordnung 
besitzt. Um dies zu erreichen, brauchen wir zwei Resultate:
Einerseits wird gezeigt, dass der Integrationsfehler
für jede -Punkt-Integrationsformel
die Abschätzung 
erfüllt mit einer Konstante 
, die nicht von der speziellen Integrationsformel abhängt (Abschätzung nach unten). Andererseits wird die optimale
Ordnung des Integrationsfehlers nach oben abgeschätzt, indem eine (unendliche) Folge 
von -Punkt-Integrationsformeln (wobei
aus einer unendlichen Teilmenge von 
ist) identifiziert wird, für die der Integrationsfehler nach oben durch beschränkt ist.
Um die untere Schranke für den Integrationsfehler zu beweisen, wird für
jede -Punkt-Integrationsformel eine Funktion 
konstruiert mit
, für welche der Integrationsfehler (von 
)
in 
nach unten durch 
abgeschätzt werden kann.
Dabei hängt die Konstante 
nicht von (aber sehr wohl von 
) ab. Die Funktionen
werden geometrisch konstruiert, wobei Resultate über das Packen einer
Sphäre mit sphärischen Kappen ausgenutzt werden. Überraschenderweise
kann dieselbe Funktion (für ) in allen Sobolevräumen ,
, verwendet werden.
Um eine obere Schranke für zu bekommen, werden (unendliche)
Folgen von -Punkt-Integrationsformeln identifiziert, für die
der Integrationsfehler die Ordnung hat für
. In unserem Beweis verwenden wir Folgen von
Integrationsformeln
mit folgenden Eigenschaften:
(i) 
ist eine 
-Punkt-Integrationsformel, (ii)
integriert sphärische Polynome vom Grad 
exakt, (iii)
hat nur positive Gewichte (oder ihre Punkte und Gewichte erfüllen eine
gewisse Regularitätseigenschaft) und (iv)
.
Das Abschätzen des Integrationsfehlers für eine solche Folge von
Integrationsformeln ist keineswegs trivial und benötigt ein neuartiges
Argument, welches eine relativ ungewöhnliche und sehr nützliche
Darstellung des Integrationsfehlers in liefert.
Beispiele für Folgen von Integrationsformeln, welche die im letzten Abschnitt aufgezählten Eigenschaften haben, sind Produkt-Gauss-Formeln, und - unter der Annahme, dass alle Gewichte positiv sind - auch die Integrationsformeln von Lebedev (basierend auf dem Sobolev Theorem) und auch interpolatorische Integrationsformeln für extremale Fundamentalsysteme.
| Zeit: | Freitag, 12. Dezember 2003, 16.00 Uhr (Kaffee/Tee um 15.30) |
| Ort: | FU Berlin, Arnimallee 2-6, Raum 032 im EG |