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KLein
N.N.
 
19020

Analysis II

Di + Do 10-12, Arnimalle 2-6, SR 032
 
Übungen: Nach Vereinbarung
Sprechstunde:Fr 10:00 (bitte möglichst per email anmelden: rupert.klein@zib.de)
Inhalt: Wir befinden uns mitten im Kapitel "Differentiation" und haben uns bereits die grundsätzlichen Definitionen und elementaren Rechen- regeln erarbeitet. Wir beschäftigen uns als nächstes mit Extrem- werten, dem Mittelwertsatz, dem Konvexitätsbegriff und in diesem Zusammenhang mit der Hölder-Ungleichung. Es folgen Iterationen, Fixpunkte und ein erster Einblick in das Newton-Verfahren zur Approximation der Lösungen nichtlinearer Gleichungen. Die Regeln von de l'Hospital schliessen das einführende Kapitel zur Differen- tialrechnung ab.
Weiterführend diskutieren wir Differentiation im Zusammenhang mit Potenzreihen, den Begriff der C1-Norm, Taylor-Entwicklungen und deren approximierende Eigenschaften, sowie einige konkrete Beispiele des bisherigen Wissens zur Differentiation (Polar- koordinaten, Bernoulli-Zahlen). In einem Ausblick betrachten wir die Differentiation ebener Kurven sowie die Differentiation im Komplexen und in der Ebene.
Im nächsten grossen Abschnitt der Analysis II begegnen uns Regelfunktionen und, aufbauend auf diesen, der zugehörige Inte- gralbegriff. Es folgen die Hauptsätze der Integralrechnung und einige konkrete Beispiele, anhand derer wir das konkrete Handwerkszeug der Substitution und partiellen Integration kennenlernen. Wir stellen sodann den über Regelfunktionen eingeführten Integralbegriff den Integralbegriffen der Herren Riemann und Lebesque gegenüber. Dies führt uns auch auf Integralnormen und den Raum Lp. Es folgen die Taylorformel und ihre Konsequenzen, uneigentliche Integrale, Dirac-Folgen und das wichtige Kapitel über Fourier-Reihen.
Gegen Ende des Semesters betreten wir die metrischen Räume, in denen wir auf Kugeln sowie offene und abgeschlossene Mengen treffen. Wir messen Hausdorffsche Abstände und diskutieren die Begriffe der Dichtheit, Kompaktheit und des Zusammenhangs. Zum Abschluss des Semesters interessieren uns Verbindungen zwischen dem neuen Begriff der Metrik und den schon etablierten Vorstellungen von Konvergenz und Stetigkeit.
Vorraussetzungen: Ab dem 2. Semester. Analysis I.
Perspektiven: Weitere Vorlesungen zur Analysis.

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© 2007 Freie Universität Berlin Feedback | 05.01.2012