Konvexe Analysis

Termin

Am ersten Termin, dem 18.10.2011, finden kurze Einführungsvorträge der Dozenten und die Themenvergabe statt. Wer noch mitmachen möchte sollte einfach dazukommen.

Der Termin ist jetzt auch vorbei. Wir haben aber noch ein paar Plätze. Falls also jemand noch spontan seine/ihre Liebe zur konvexen Analysis entdeckt, kann man da noch was machen.

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Vorträge

Allgemeine Informationen

Inhalt

Die konvexe Analysis beschäftigt sich mit der Erweiterung zentraler Begriffe der klassischen Analysis, z.B. dem Ableitungsbegriff auf konvexe und unterhalbstetige Funktionen. Damit liefert sie die Grundlagen für eine Reihe mathematischer Disziplinen wie der Optimierungstheorie, der Theorie großer Abweichungen oder auch der Bildverarbeitung.

Einige zentrale Themen des Seminars sind:

• Konvexe Mengen, konvexe Funktionen, Subdifferential und Subgradient
• Dualität, konjugierte Funktionen, Legendre-Fenchel-Transformation
• Variationsprobleme mit und ohne Nebenbedingungen, Optimalitätsbedingungen
• Große Abweichungen, momenterzeugende Funktion, exponentielle Konvergenz

Zielgruppe

Studierende ab dem 5. Semester

Voraussetzungen

Grundvorlesungen in Analysis und Linearer Algebra. Grundkenntnisse der Funktionalanalysis sowie der Stochastik sind hilfreich.

Vortragsthemen

• Konvexe Mengen und konvexe Funktionen (Grundlagen, s. Ekeland, Téman (1999), "Convex analysis and variational problems", Kapitel I)
• Subdifferentiale und Dualität (Grundlagen, s. Ekeland, Téman (1999), "Convex analysis and variational problems", Kapitel I)
• Monotone Operatoren
• Konvexe Minimierungsprobleme (Grundlagen, s. Kinderlehrer, Stampacchia (1980), "An Introduction to Variational Inequalities and their Application", Kapitel 1-2)
• Optimalitätsbedingungen für Minimierungsprobleme mit Nebenbedingungen (Jarre, Stoer, "Optimierung")
• Hamiltonsche Systeme mit Zwangsbedingungen (Diracs Theorie der Zwangsbedingungen, s. Hanson et al. (1976), "Constrained Hamiltonian Systems", Dirac (1950), "Generalized Hamiltonian Dynamics")
• Optimaler Transport ("Wie man einen Sandhaufen von A nach B verschiebt, ohne dabei zu sehr ins Schwitzen zu kommen.", s. Evans (2001), "Partial Differential Equations and Monge-Kantorovich Mass Transfer" - recht anspruchsvolles Thema)
• Große Abweichungen (Momentenerzeugende Funktion, Cramers Theorem, s. Dembo, Zeitouni (1998), "Large Deviations Techniques and Applications", Kapitel 2.1-2.3, Ellis (1985), "Entropy, Large Deviations and Statistical Mechanics", Kapitel VII)
• Jensens Ungleichung (Konvextransformationen von Erwartungswerten, s. Hölder (1889), "Ueber einen Mittelwerthssatz", McShane (1936), "Jensen's Inequality")
• Entropiemethoden (Entropie und Zentraler Grenzwertsatz, s. Barron (1986), "Entropy and the Central Limit Theorem", Brown (1982), "A Proof of the Central Limit Theorem Motivated by the Cramer-Rao Inequality")
• Mechanische Reibung
• Konvexe Funktionen auf Riemannschen Flächen
• Bikonvexität
• Das Gauß-Seidel-Verfahren
• Quasikonvexität und Polykonvexität