Stichpunkte zur LinA I (WS 2012/2013)

Eigenschaften von Mengen (15.10.2012)

• Was ist eine Menge?
• Russellsche Antinomie: Wenn \(M=\{x:x\notin x\}\) eine Menge ist, gilt dann \(M\in M\)?
• Endliche Mengen, Mächtigkeit von Mengen

Operationen auf Mengen und Abbildungen (17.10.2012)

• Schnitte, Vereinigungen und Komplemente von Mengen
• Kommutativität, Assoziativität, Distributivgesetz und de Morgan'sches Gesetz
• Produkte von Mengen und Tupel
• Potenzmenge
• Was ist eine Abbildung?

Eigenschaften von Abbildungen (22.10.2012)

• Graphen von Abbildungen
• Definition von Injektivität, Surjektivität, Bijektivität:
• Peano-Axiome und vollständige Induktion
• Anzahl der Permutation einer endlichen Menge
• Gleichmächtigkeit von Mengen

Eigenschaften von Abbildungen, Gruppen (24.10.2012)

• Charakterisierung von Injektivität, Surjektivität, Bijektivität:
  • Abbildungen sind genau dann injektiv, wenn eine linksinverse Abbildung existiert
  • Abbildungen sind genau dann surjektiv, wenn eine rechtsinverse Abbildung existiert
  • Abbildungen sind genau dann bijektiv, wenn eine inverse Abbildung existiert
• Auswahlaxiom
• Inverse von Abbildungen
• Definition von (abelschen) Gruppen
• Beispiele für Gruppen

Eigenschaften von Gruppen, Untergruppen, Relationen (29.10.2012)

• Eindeutigkeit von neutralem und inversem Element
• Rechtsneutrales und rechtsinverses Element
• Definition und Beispiele für Untergruppen
• Definition und Beispiele für Gruppenhomomorphismen
• Definition und Beispiele für Relationen
• Definition von Äquivalenzrelationen

Äquivalenzrelationen, \( \mathbb{Z}_m \) (31.10.2012)

• Eigenschaften und Beispiele von Äquivalenzrelationen
• Äquivalenzklassen
• Charakterisierung der Restklassen \( \mathbb{Z}_m \), Division mit Rest
• Addition in \( \mathbb{Z}_m \)
• \( ( \mathbb{Z}_m,+) \) ist abelsche Gruppe

Ringe und Körper, Komplexe Zahlen (05.11.2012)

• Definition und Beispiele für Ringen und Körpern
• \( \mathbb{Z}_m \) ist kommutativer Ring mit 1
• \( \mathbb{Z}_m \) ist genau dann Körper, wenn \(m\) Primzahl (exemplarisch)
• Addition und Multiplikation in \( \mathbb{C} = \mathbb{R}\times\mathbb{R} \)
• \( (\mathbb{C},+) \) ist abelsche Gruppe
• \( (\mathbb{C}\setminus\{(0,0)\},\cdot) \) ist abelsche Gruppe

Komplexe Zahlen, Vektorräume (07.11.2012)

• Einbettung von \( \mathbb{R}\) in \( \mathbb{C}\)
• Darstellung von \( \mathbb{C}\) als \( \mathbb{C} = \{ a+bi: a,b \in \mathbb{R} \}\)
• Definition und Beispiele für Vektorräume
• Definition und Beispiele für Unterräume

Unterräume und affine Unterräume (12.11.2012)

• Ein Unterraum ist ein Vektorraum
• Definition von affinen Unterräumen
• Schnitte und Summen von Unterräumen
• Schnitte von affinen Unterräumen

Aufgespannte Unterräumen und Erzeugendensysteme (14.11.2012)

• Summen von affinen Unterräumen
• Hyperebenen sind affine Unterräume
• Linearkombinationen, aufgespannte Unterräume
• Erzeugendensysteme
• Geraden in \( \mathbb{R}^n \)

Linear (un)abhängige Systeme von Vektoren, Geraden und Ebenen (19.11.2012)

• Definition von linear (un)abhängigen Systemen
• Definition von Geraden und Ebenen in \(K^n\)
• Hyperebenen in \(K^2\) sind Geraden

Hyperebenen in \(K^n\), Austauschsatz von Steinitz (21.11.2012)

• Charakterisierung von Hyperebenen in \(K^n\)
• Hyperebenen in \(K^3\) sind Ebenen
• Der Austauschsatz von Steinitz

Charakterisierung von Basen (26.11.2012)

• Definition und Beispiele für Basen
• Euklidische Basis in \(K^n\)
• Äquivalente Charakterisierung von Basen:
  • \(B\) ist Basis
  • jeder Vektor läßt sich eindeutig als Linearkombination aus \(B\) darstellen
  • \(B\) ist maximal linear unabhängig
  • \(B\) ist minimales Erzeugendensystem

Existenz von Basen (28.11.2012)

• Basisexistenzsatz (endlichdimensional)
• Gleichmächtigkeit von Basen (endlichdimensional)
• Dimension eines Vektorraums
• Basisergänzungssatz (endlichdimensional)

Berechnung von Basen (03.12.2012)

• Dimension von Unterräumen
• Matrizen
• Ist \(A\) in Zeilenstufenform, so bilden die Nicht-Null-Zeilen von \(A\) eine Basis des Zeilenraums
• Elementare Zeilenumformungen erhalten den Zeilenraum

Berechnung von Basen II (05.12.2012)

• Ist \(A\) in Zeilenstufenform, so bilden die Nicht-Null-Zeilen von \(A\) eine Basis des Zeilenraums (Beweis)
• Elementare Zeilenumformungen erhalten den Zeilenraum (Beweis)
• Jede Matrix läßt sich in Zeilenstufenform bringen

Zeilenrang=Spaltenrang, lineare Gleichungssysteme (10.12.2012)

• Ist \(A\) in Zeilenstufenform mit \(r\) Nicht-Null-Zeilen, so ist \(r\) der Spaltenrang von \(A\)
• Elementare Zeilenumformungen erhalten den Spaltenrang
• Es gilt Zeilenrang=Spaltenrang
• Definition von linearen Gleichungssystemen
• Matrix-Vektor-Multiplikation

Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen (12.12.2012)

• Die Lösungsmenge \(\operatorname{Lsg}(A,b)\) von \(Ax=b\) ist leer oder ein affiner UR
• Defintion des Kerns einer Matrix
• Normierte Zeilenstufenform (nZSF)

Lösungen von inhomogenen linear Gleichungssystemen (17.12.2012)

• Ist \( A\) in nZSF, so kann man den Kern "ablesen"
• Dimensionsformel \( \dim ( \operatorname{Kern} A) = n - \operatorname{rang} (A) \)
• Erweiterte Koeffizientenmatrix
• Berechnung der Lösungen inhomogener linearer Gleichungssysteme

Lineare Abbildungen, Kern und Bild (19.12.2012)

• Definition von linearen Abbildungen, Kern, Bild
• Definition von \( L:K^{m\times n} \to \operatorname{Hom}(K^n,K^m) \)
• Charakterisierung von Injektivität von Homomorphismen durch den Kern
• Das Bild von linear (un)abhängigen Mengen unter Homomorphismen
• Kern-Bild-Satz für Homomorphismen \(f:V\to W\): \( \dim V = \dim(\operatorname{Bild} f ) + \dim(\operatorname{Kern} f) \)

Eigenschaften linearer Abbildungen (07.01.2013)

• Injektivität, Surjektivität und Bijektivität von Endomorphismen auf endlichdimensionale Räumen
• Definition von Homomorphismen durch das Bild einer Basis
• Endlichdimensionale Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn ihre Dimension gleich ist
• \( L:K^{m\times n} \to \operatorname{Hom}(K^n,K^m) \) ist bijektiv

Homomorphismen zwischen endl.dim. Vektorräumen (09.01.2013)

• \( L:K^{m\times n} \to \operatorname{Hom}(K^n,K^m) \) ist ein (Vektorraum-)Isomorphismus
• Komposition linearer Abbildungen
• Der Isomorphismus \( \Phi_B:K^n \to V\) bezüglich Basen \( (e^1,\dots,e^n) \) und \(B\) von \(K^n\) und \(V\)
• Die darstellende Matrix \( M_{B_w}^{B_v}(f) \in K^{m\times n} \) von \(f \in \operatorname{Hom}(V,W)\)

Induzierte Homomorphismen, Matrix-Matrix-Produkt und Transponierte (14.01.2013)

• Sind \(\Phi:V_2 \to V_1\) sowie \(\Psi:W_2\to W_1\) Isomorphismen, so auch \(f \mapsto \Psi^{-1}\circ f \circ \Phi\).
• \( M_{B_w}^{B_v}: \operatorname{Hom}(V,W) \to K^{m\times n} \) ist ein Isomorphismus
• Definition und Eigenschaften von Matrix-Matrix-Produkt und transponierter Matrix

Inverse Matrizen, Basiswechsel (16.01.2013)

• Inverse von Matrizen, reguläre und singuläre Matrizen
• Reguläre Matrizen entsprechen bijektiven linearen Abbildungen
• \(A\in \mathbb{R}^{n\times n}\) ist regulär \(\Leftrightarrow \operatorname{rang}(A)=n\)
• \(\operatorname{Gl}(n,K)\) mit der Matrixmultiplikation ist Gruppe
• Definition und Eigenschaften von Transformationsmatrizen \(T_B^A\) für Basiswechsel

Basiswechsel für lineare Abbildungen (21.01.2013)

• Basiswechsel für lineare Abbildungen \(M_{B_W'}^{B_V'}(f) = T_{B_W'}^{B_W} M_{B_W}^{B_V}(f) (T_{B_V'}^{B_V})^{-1}\)
• Definition von Elementarmatrizen
• Jede reguläre Matrix läßt sich als Produkt von Elementarmatrizen darstellen
• Berechnung inverser Matrizen

Summen von Vektorräumen (23.01.2013)

• Definition von (direkten) Summen von Unterräumen
• Summen von Unterräume sind Unterräume
• Charakterisierung von direkten Summen

Produkte von Vektorräumen, Geometrie von \(\mathbb{R}^n\) (28.01.2013)

• \(W_1 + \dots + W_k\) ist direkt \(\Leftrightarrow\) \(\operatorname{dim} (W_1 \dots W_k) = \operatorname{dim} W_1 + \dots + \operatorname{dim} W_k\)
• Definiton von Produkten von Vektorräumen
• Motivation zu Abstand und Winkeln in der Ebene
• Definition und Eigenschaften von euklidischem Skalarprodukt, Norm und Abstand
• Cauchy-Schwarz Ungleichung (ohne Beweis)
• Binomische Formeln für Norm und Skalarprodukt

Orthogonalität und Winkel zwischen Vektoren (30.01.2013)

• Definition von Orthogonalität
• Beweis der Cauchy-Schwarz Ungleichung
• Motivation zum Zusammenhang von Winkel und Skalarprodukt
• Definitiom des Winkels mittels Skalarprodukt
• Satz des Pythagoras, Kosinussatz, Parallelogramm-Gleichung

Orthogonalprojektionen (04.02.2013)

• Für einen affinen Unterraum \(M\) von \(V\) und \(y_0 \in V \) gilt:

• Es existiert genau ein solches \(y_0 \in M\)
• \(A^T A\) ist symmetrisch, \(\operatorname{Kern}(A) = \operatorname{Kern}A^TA\)
• Beispiele

Definition und Eindeutigkeit von Determinanten (11.02.2013)

• Motivation: Fläche und Volumen von Parallelogramm und Spat
• Axiomatische Definition von Determinantenabbildungen
• Für singuläres \(A\) gilt \(\operatorname{det}(A) = 0\)
• Änderung der Determinante bei elementaren Zeilenumformungen
• Determinanten von Elementarmatrizen
• Für reguläres \(A\) kann \(\operatorname{det}(A)\) aus einer Produktdarstellung mit Elementarmatrizen berechnet werden
• Es gibt höchstens eine Determinantenabbildung

Existenz und Eigenschaften von Determinanten (13.02.2013)

• Rekursive Definition durch Unterdeterminanten (Laplacescher Entwicklungssatz)
• Die definierte Abbildung ist einen Determinantenabbildungen (ohne Beweis)
• Determinanten in \(\mathbb{R}^{2 \times 2},\mathbb{R}^{3 \times 3}\), Regel von Sarrus
• Multiplikativität der Determinanten
• Determinanten und Volumenänderung