Oberseminar Numerische Mathematik / Scientific Computing
Forschen im Foyer
Folkmar Bornemann
TU München
Numerik der Fredholm'schen Determinanten mit Anwendungen auf die Theorie der Zufallsmatrizen
Abstract:
Obwohl die Fredholm'sche Determinante den Beginn der modernen Operatortheorie einläutete und mittlerweile auch zahlreiche Anwendungen etwa in der mathematischen Physik oder der Theorie der Zufallsmatrizen findet, wurde ihre numerische Auswertung bislang offenbar nicht systematisch studiert. Stattdessen meinte man, auf alternative analytische Ausdrücke angewiesen zu sein, oft aufwendige und ingeniöse Darstellungen in den Painlevé'schen Transzendenten. (Explizite Darstellungen, die als Nachweis der "Integrabilität" von hohem unabhängigen Interesse sind und zu Recht gefeiert wurden.) Ich werde hingegen in diesem Vortrag zeigen, dass eine direkte numerische Berechnung Fredholm'scher Determinanten nicht nur möglich ist, sondern oft sogar sehr viel einfacher höhere Genauigkeiten liefern kann. Überraschenderweise findet sich die Grundidee für einen Beweis der Konvergenz des Verfahrens bereits in Hilberts berühmter erster Mitteilung über Integralgleichungen aus dem Jahre 1904. Mein "neuer" numerischer Zugang wurde von Ferrari, Prähofer und mir selbst kürzlich benutzt, um den Status einer Vermutung über Diffusionsprozesse symmetrischer Matrizen nachhaltig zu erschüttern.
| Datum: | 25.05.09 | Zeit: | 17:00 Uhr | Ort: | FU Berlin, Institut für Mathematik, Arnimallee 6, 14195 Berlin. | Raum: | Foyer im Erdgeschoss |