Stichpunkte zur Analysis II (LA)

Dies sind die Stichpunkte zur Vorlesung Analysis II (lehramtsbezogen) im Sommersemester 2014. Sie sollen einen kurzen Überblick über die Themen der einzelnen Vorlesungen und wichtige Begriffe und Aussagen verschaffen.

Organistorisches und Motivation (15.04.2014)

• Tutorien, Übungszettel, Scheinkriterien, Anmeldung
• Literatur, Handapparat, Homepage
• Motivation: Minimierungsprobleme, nichtlineare Gleichungen, Approximation
• Was verstehen wir unter einem Abstandsmaß?
• Definition: Metrik, metrischer Raum

Metrische und normierte Räume (17.04.2014)

• Eigenschaften von metrischen Räumen
• Beispiele für metrische Räume
• Definition: Norm, normierter Raum
• Jede Norm indizuiert eine Metrik
• Beispiele für Normen auf \(\mathbb{R}^d\): euklidische Norm, 1-Norm, \(\infty\)-Norm
• \(\varepsilon\)-Kugeln in metrischen Räumen

Umgebungen(22.04.2014)

• Definition: Umgebung, offene Menge
• Beispiele für Umgebungen
• Hausdorff'sche Trennungseigenschaft
• Definition: konvergente Folgen
• Eindeutigkeit von Grenzwerten

Offene Mengen und Konvergenz (24.04.2014)

• Eigenschaften offener Mengen
• Beispiele für offene Mengen
• Äquivalente Formulierungen für Konvergenzkriterium
• Beispiele für konvergente Folgen

Konvergenz in \(\mathbb{R}^d\), Cauchy-Folgen (29.04.2014)

• Rechenregeln für Grenzwerte in \(\mathbb{R}^d\)
• Definition: Cauchy-Folgen
• Eigenschaften von Cauchy-Folgen
• Definition: vollständige metrische Räume
• \( (\mathbb{R}^d, \|\cdot\| ) \) ist vollständig

Abgeschlossene Mengen (06.05.2014)

• Definition: \(A\) ist abgeschlossen in \((M,d)\), wenn \( M \setminus A \) offen ist.
• Definition, Eigenschaften und Beispiele für: Abschluß, Rand, Inneres
• Charakterisierung von Abgeschlossenheit durch konvergente Folgen

Charekterisierung stetiger Funktionen (08.05.2014)

• Motivation: Existenz von Minima und Nullstellen
• Definition: stetige Funktionen (\(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriterium)
• Definition: Grenzwerte von Funktionswerten
• Stetigkeit \(\Leftrightarrow\) Folgenstetigkeit

Rechenregeln für stetige Funktionen (13.05.2014)

• Stetigkeit von Komposition, Summe, Produkt und Quotient stetiger Funktionen
• \(f : M \to \mathbb{R}^d \) stetig \(\Leftrightarrow f\) komponentenweise stetig
• Beispiele: Polynome, Abstandsfunktion zu festem Punkt
• Stetigkeit \(\Leftrightarrow\) Urbilder offener(abgeschlossener) Mengen sind offen(abgeschlossen)

Schachtelungsprinzip und Zwischenwertsatz (15.05.2014)

• Durchmesser einer Menge
• Supremum und Infimum
• Schachtelungsprinzip
• Zwischenwertsatz für \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\)

Zwischenwertsatz und Banachscher Fixpunktsatz (20.05.2014)

• Zwischenwertsatz für \(f:M \to \mathbb{R}\) mit \(M\) wegzusammenhängend
• Lipschitzstetigkeit, Kontraktionen
• Banachscher Fixpunktsatz

Banachscher Fixpunktsatz, kompakte Mengen (22.05.2014)

• Banachscher Fixpunktsatz (Fortsetung des Beweises)
• Definition kompakte Mengen
• Beispiele/Gegenbeispiele für kompakte Mengen

Kompaktheit (27.05.2014)

• Kompakte Mengen sind abgeschlossen und beschränkt
• Abgeschlossene Teilmegen kompakter Mengen sind kompakt
• Satz von Heine-Borel: Teilmengen In \(\mathbb{R}^d\) sind genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind.
• Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede Folge in einer kompakten Mengen besitzt eine konvergente Teilfolgen
• Beschränkte Folgen in \(\mathbb{R}^d\) besitzt eine konvergente Teilfolgen.
• Stetige Funktionen bilden kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab
• Stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen ihr Maximum und Minimum an

Existenz von Minima/Maxima, Differenzierbarkeit für \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) (03.06.2014)

• Stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen ihr Maximum und Minimum an (Beweis)
• Motivation: Tangenten zur Bestimmung von Minima, Tangenten als lokale Approximation
• Definition von Ableitungen auf \(\mathbb{R}\)
• Rechenregeln für Ableitungen auf \(\mathbb{R}\)

Partielle Ableitungen I (05.06.2014)

• Definition von Richtungsableitungen
• Definition von partielle Ableitungen
• Differenzierbare Funktionen auf \(\mathbb{R}\) sind stetig
• Differenzierbare Funktionen auf \(\mathbb{R}^d,d>1,\) müssen nicht stetig sein

Partielle Ableitungen II (10.06.2014)

• Höhere partielle Ableitungen
• Satz von Rolle
• Mittelwertsatz
• Vertauschbarkeit partieller Ableitungen für stetig partiell differenzierbare Funktionen

Partielle Ableitungen III (12.06.2014)

• Vertauschbarkeit partieller Ableitungen für stetig partiell differenzierbare Funktionen (Beweis)
• Definition von Gradient, Jacobi-Matrix, Hesse-Matrix, Divergenz und Laplace-Operator
• Motivation: partielle differenzierbarkeit kann das Verhalten von Funktionen nur Ungügend beschreiben

Differenzierbarkeit (17.06.2014)

• Approximation von Funktionen durch lineare Approximationen
• Definition von (totaler) Differenzeirbarkeit
• Differenzierbare Funktionen sind stetig
• Differenzierbare Funktionen sind partiell differenzierbar

Zusammenhang von partieller und totaler Differenzierbarkeit (19.06.2014)

• Differenzierbare Funktionen sind richtungsdifferenzierbar
• Stetig partiell differenzierbare Funktionen sind differenzierbar
• Differenzierbare Funktionen können unstetige partielle Ableitungen haben
• Mehrfach (stetig) differenzierbare Funktionen

Konvexe Funktionen, Extrema in offenen Mengen (24.06.2014)

• Zusammenhang von Jacobi-Matrix, Gradient und Hesse-Matrix
• Kettenregel
• Symmetrische, positiv (semi-)definite, negativ (semi-)definite, indefinite Matrizen
• Konvexe Mengen und Funktionen
• \(\nabla f(x) = 0\) ist notwendig für Extrema

Bedingungen für Extrema in offenen Mengen (26.06.2014)

• Positive (negative) Semi-Definitheit von \(H_f(x) \) ist notwendig für ein Minimum (Maximum) in \(x\)
• Für stetig differenzierbare konvexe Funktionen ist \(\nabla f(x)=0 \) hinreichend für ein Minimum in \(x\)
• Für zweimal stetig differenzierbare Funktionen ist \(\nabla f(x)=0 \) und positive Definitheit von \(H_f(x)\) hinreichend für ein Minimum in \(x\)

Schrankensatz, Newton-Verfahren (01.07.2014)

• Extrema von quadratischen Funktionen
• Extrema von koerziven Funktionen
• Operatornormen
• Schrankensatz
• Motivation des Newton-Verfahrens

Lokale Konvergenz des Newton-Verfahrens (03.07.2014)

• Ist \(Df\) Lipschitz-stetig so fällt der Fehler \( \|f(x+h) - f(x) - Df(x)h\| \) quadratisch in \(h\)
• Ist \( f(x)=0 \), \(Df(x)\) invertierbar und \(Df\) Lipschitz-stetig, so konvergiert das Newton-Verfahren lokal.
• Das Newton-Verfahren konvergiert lokal quadratisch

Riemann-Integrierbare Funktionen (08.07.2014)

• Treppenfunktionen
• Ober- und Untersummen; Definition des Riemann-Integrals
• Einschließung zwischen Treppenfunktionen
• Stetige Funktionen sind integrierbar (mit Beweis)
• Linearität und Monotonie; Betrag einer integrierbaren Funktion; Produkte von integrierbaren Funktionen
• Mittelwertsatz (mit Beweis)
• Riemannsche Summen

Eigenschaften des Integrals (10.07.2014)

• Stammfunktionen
• Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
• Transformationssatz, partielle Integration
• Integration von Funktionen \(f:[a,b] \to \mathbb{R}^m\)
• \(\| \int_a^b f(x) dx \| \leq \int_a^b \| f(x) \| dx\)
• Hauptssatz für Funktionen \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)
• Taylorapproximation

Klausur (15.07.2014)

(17.07.2014)