Stichpunkte zur Vorlesung Numerik I

Dies sind die Stichpunkte zur Vorlesung Numerik I im Sommersemester 2016. Sie sollen einen kurzen Überblick über die Themen der einzelnen Vorlesungen und wichtige Begriffe und Aussagen verschaffen.

20.04.2016

• Nichtlineare Probleme
• Lokale Eindeutigkeit und Sensitivität
• Banach'scher Fixpunktsatz

25.04.2016

• Banach'scher Fixpunktsatz (Beweis)
• Lokaler Konvergenzsatz
• Implementierung der Fixpuktiteration: „noch nicht konvergiert“ und „kein Erfolg zu erwarten“
• Konvergenzgeschwindigkeit (lineare uns superlineare Konvergenz)
• Newton-Verfahren: Idee & quadratische Konvergenz

27.04.2016

• Implementierung des Newton-Verfahren: „noch nicht konvergiert“, „kein Erfolg zu erwarten“ (natürlicher Monotonietest), und Dämpfungsstrategie
• Bestapproximation: abstraktes Problem und Beispiele
• Probleme bei Existenz & Eindeutigkeit der Lösung des Bestapproximationsproblems

02.05.2016

• Existenz der Lösung des Bestapproximationsproblems für endlichdimensionale Unterräume
• Eindeutigkeit der Lösung des Bestapproximationsproblems für strikt konvexe Räume
• Prähilberträume und die Normalengleichung
• Beschreibung des Bestapproximationsproblems mittels Projektionen
• Lösung des Bestapproximationsproblems: Basisdarstellung

04.05.2016

• Das Tschebyscheff’sche Bestapproximationsproblem \(\|u-f\|_{\infty} = \min!\)
• Das \(L^2\)-Bestapproximationsproblem \(\|u-f\|_{2} = \min!\)
• Wahl der Basis: Monome vs Orthogonalpolynome
• Approximation mit stückweisen Polynomen: lineare finite Elemente

09.05.2016

• Lineare Ausgleichsprobleme
• Lösung durch Normalengleichung: Stabilität
• Lösung durch QR-Zerlegung (Golub 1965)

11.05.2016

• QR-Zerlegung mit Givens-Rotation
• QR-Zerlegung mit Householder-Reflexion
• QR-Zerlegung mit modifiziertem Gram-Schmidt-Verfahren

18.05.2016

• Wiederholung bekannter Resultate aus der Polynominterpolation (Eindeutigkeit, Lagrange- und Newton-Darstellung, Fehlerformel)
• Taylor-Formel und Hermite-Interpolation
• Hermite-Genocchi-Formel
• Dividierte Differenzen für zusammenfallende Stützstellen

23.05.2016

• Vergleich von Bestapproximation und Interpolation
• Lösung der Hermite'schen Interpolationsaufgabe
• Neville-Tableau für zusammenfallende Stützstellen
• Konvergenz der Interpolation
• Verbindung zur Bestapproximation

25.05.2016

• Abhängigkeit der Approximationsgüte von der Wahl der Stützstellen
• Nachteile/Grenzen der Polynominterpolation
• Spline-Interpolation: Notation, Raum der Splines, Bsp: lineare und kubische Splines
• Zusammenhang zur Mechanik

30.05.2016

• Extremaleigenschaft: Biegeenergie. Bei geeigneter Randbedingung gilt \(\|s_n''\|_2 \le \|v''\|_2\)
• Typen kubischer Splines (vollständig, natürlich, periodisch)
• Berechnung der vollständigen kubischen Splineinterpolation

01.06.2016

• Stabilität kubischen Splines
• Fehlerabschätzung der vollständigen kubischen Splineinterpolation
• Numerische Quadratur: Aufgabenstellung und Konditionsanalyse
• Interpolatorische (summierte) Quadraturformeln: diskrete Kondition

06.06.2016

• Newton-Cotes-Formeln
• Superkonvergenz: exakte Integration von Polynomen \(p\in\mathcal{P}_{2n+1}\)
• Die Stützstellen als Nullstellen von Orthogonalpolynomen

08.06.2016

• Gauß’sche Quadraturformeln
• Gauß’sche Quadraturformeln sind vom positiven Typ
• Gauß-Christoffel- und Gauß-Lobatto-Quadratur
• Berechnung von Orthogonalpolynomen: Drei-Term-Rekursion

13.06.2016

• Klassische Romberg-Quadratur: Extrapolation von summierten Quadraturformeln
• Asymptotische Entwicklung und Fehler der Extrapolation
• Euler-MacLaurin’sche Summenformel
• Anwendung: Asymptotische Entwicklung der summierten Trapezregel

15.06.2016

• Weitere Anwendung der Euler-MacLaurin’schen Summenformel: Quadratur periodischer Funktionen über voller Periodenlänge
• Implementierung der Romberg-Quadratur und die Romberg-Folge
• Adaptive Multilevel Quadratur: Adaptivität durch Verfeinerung
• Fehlerschätzer: Simpson-Regel, asymptotische Exaktheit

20.06.2016

• Konvergenz der adaptiven Mehrgitter-Quadratur
• Kommentare zum Aufwand und zur Implementierung
• Gewöhnliche Differentialgleichungen (DG): Beispiele (Mechanik, Populationsdynamik, chemische Reaktionskinetik)
• Definition Anfangswertprobleme (AWP), autonome DGen

22.06.2016

• Autonomisierung von nicht-autonomen AWPen
• Existenzsatz von Peano (maximal fortgesetzte Lösungen)
• Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
• Punktweise Kondition und Wronski-Matrix
• Das Gronwall’sche Lemma

27.06.2016

• Anwendungen des Gronwall’schen Lemmas: Eindeutigkeit, Konditionsabschätzung (a priori), und ewige Existenz bei inhomogenen linearen DGen
• Das explizite Euler-Verfahren: Idee, Konsistenzfehler, und Fehlerfortpflanzung

29.06.2016

• Konsistenz von Einschrittverfahren
• Taylor-Verfahren

04.07.2016

• Runge-Kutta-Verfahren
• Butcher-Schema
• Entwicklung von Verfahren höherer Ordnung

11.07.2016

• Bedingungsgleichungen
• Diskrete Kondition von Runge-Kutta-Verfahren
• Stabilität von Runge-Kutta-Verfahren

13.07.2016

• Wiederholung: Runge-Kutta-Verfahren
• Konvergenz von Runge-Kutta-Verfahren (Konsistenz & Stabilität resultieren Konvergenz)

18.07.2016

• Fragestunde