KLein
N.N.
19020
|
Analysis II
Di + Do 10-12, Arnimalle 2-6, SR 032
| Übungen: | Nach Vereinbarung |
| Sprechstunde: | Fr 10:00 (bitte möglichst per email anmelden:
rupert.klein@zib.de)
|
| Inhalt: |
Wir befinden uns mitten im Kapitel "Differentiation" und
haben uns bereits die grundsätzlichen Definitionen und
elementaren Rechen- regeln erarbeitet. Wir beschäftigen
uns als nächstes mit Extrem- werten, dem Mittelwertsatz,
dem Konvexitätsbegriff und in diesem Zusammenhang mit
der Hölder-Ungleichung. Es folgen Iterationen, Fixpunkte
und ein erster Einblick in das Newton-Verfahren zur
Approximation der Lösungen nichtlinearer Gleichungen.
Die Regeln von de l'Hospital schliessen das einführende
Kapitel zur Differen- tialrechnung ab.
Weiterführend diskutieren wir Differentiation im
Zusammenhang mit Potenzreihen, den Begriff der
C1-Norm, Taylor-Entwicklungen und deren
approximierende Eigenschaften, sowie einige konkrete
Beispiele des bisherigen Wissens zur Differentiation (Polar-
koordinaten, Bernoulli-Zahlen). In einem Ausblick
betrachten wir die Differentiation ebener Kurven sowie die
Differentiation im Komplexen und in der Ebene.
Im nächsten grossen Abschnitt der Analysis II begegnen uns
Regelfunktionen und, aufbauend auf diesen, der zugehörige
Inte- gralbegriff. Es folgen die Hauptsätze der
Integralrechnung und einige konkrete Beispiele, anhand
derer wir das konkrete Handwerkszeug der Substitution und
partiellen Integration kennenlernen. Wir stellen sodann den
über Regelfunktionen eingeführten Integralbegriff den
Integralbegriffen der Herren Riemann und Lebesque
gegenüber. Dies führt uns auch auf Integralnormen und den
Raum Lp. Es folgen die Taylorformel und ihre
Konsequenzen, uneigentliche Integrale, Dirac-Folgen und
das wichtige Kapitel über Fourier-Reihen.
Gegen Ende des Semesters betreten wir die metrischen
Räume, in denen wir auf Kugeln sowie offene und
abgeschlossene Mengen treffen. Wir messen Hausdorffsche
Abstände und diskutieren die Begriffe der Dichtheit,
Kompaktheit und des Zusammenhangs. Zum Abschluss des
Semesters interessieren uns Verbindungen zwischen dem
neuen Begriff der Metrik und den schon etablierten
Vorstellungen von Konvergenz und Stetigkeit.
|
| Vorraussetzungen: |
Ab dem 2. Semester. Analysis I.
|
| Perspektiven: |
Weitere Vorlesungen zur Analysis.
|
|
