Analysis II

Aktuelles

• Die Nachklausurergebnisse finden Sie hier.
• Für die Nachklausur, die am Donnerstag, den 7. Oktober 2021, von 10:00 bi 12::Uhr stattfindet, gelten die gleichen Hinweise wie für die erste Klausur.
• Die Klausurergebnisse finden Sie hier.
• HINWEISE ZUR KLAUSUR:
  • Die Klausur findet wie angekündigt am Dienstag, den 13. Juli 2021, von 10:00 bis 12:00 Uhr als Heimklausur statt und wird über das Whiteboard/KVV organisiert. Dort müssen Sie auch die von Ihnen gelösten Aufgaben einreichen. Eine Videoüberwachung findet nicht statt.
  • Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten. Zusätzlich erhalten Sie 30 Minuten für die organisatorische Aspekte (Herunterladen, Ausdrucken, Einscannen, Formatumwandelung, Hochladen).
  • Die Klausur beginnt um exakt 10:00 Uhr. Ab diesem Zeitpunkt finden Sie im Whiteboard unter Aufgaben/Assignments die Klausuraufgaben. Sie müssen Ihre Lösung bis spätestens 12:00 dort eingereicht haben. Damit es hier nicht zu Unklarheiten, Enttäuschung und Diskussionen kommt: Hierfür gilt der Zeitstempel des KVV/Whiteboard. Etwaige Sicherheits-Zeitpuffer sind in den 30 Minuten bereits enthalten. D.h. ein Hochladen um 12:01 ist nicht mehr möglich.
  • Ihre Abgabe soll in einer einzigen Datei im PDF-Format erfolgen. Wenn Sie Ihre Lösung fotografieren, wandeln Sie die Bilder bitte selber in das PDF-Format um und kontrollieren anschließend die Vollständigkeit und Lesbarkeit.
  • Damit Ihre Klausur gewertet werden kann, müssen Sie zwingend die unterzeichnete Erklärung zur Selbstständigkeit und dem Klausurformat fristgerecht abgeben. Diese wird ebenfalls im KVV/Whiteboard verfügbar und kann dort bereits vorab hochgeladen werden.
  • Sollten Sie entweder die Klausur oder die Erklärung nicht fristgerecht abgeben, zählt die Klausur als nicht angetreten.
  • Als Notlösung im Fall technischer Probleme können Sie die Klausur per E-Mail als Anhang im PDF-Format an graeser@mi.fu-berlin.de schicken. Bitte beachten Sie, dass dies nur bei Problemen mit dem Whiteboard akzeptiert wird. In diesem Fall zählt der Ankunftszeitstempel der E-Mail. Achtung: Es kann durchaus sein, dass E-Mails länger brauchen, so dass Sie diese rechtzeitig vorher abschicken sollten.
  • Auch wenn Sie die Erklärung erst mit der Klausur ausdrucken und hochladen wollen, empfehle ich Ihnen, sich die Regelungen darauf schon vorab durchzulesen.
  • Während der Klausur (bzw. bereits kurz vorher) stehen wir für Fragen im WebEx-Raum https://fu-berlin.webex.com/fu-berlin/j.php?MTID=m27824b36cd772161fd276fd03ef899c4 zur Verfügung.
  • Der Klausurtermin steht jetzt fest: die Klausur findet am vorletzten Vorlesungstermin, am Dienstag den 13.07., 10-12 Uhr statt!
• Achtung: die 4. Aufgabe des 3. Übungszettels wird aus der Wertung genommen. Wer sie trotzdem bearbeitet bekommt Bonus Punkte!
• Aufgrund der vielen Anmeldungen starten wir vorerst mit 3 Tutorien und ohne Zentralübung. Bitte melden sie sich im Whiteboard für eine der Online-Übungen 01, 08 oder 09 an!

Allgemeines zur Vorlesung

Termine

Inhalt

Dies ist der zweite Teil einer Einführung in die mathematische Grunddisziplin Analysis.

Themen:

• Elemente der Topologie.
• Normierte und metrische Räume.
• Offene Mengen, Konvergenz, abgeschlossene Mengen.
• Stetigkeit, Kompaktheit.
• Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher.
• Partielle, totale und stetige Differenzierbarkeit.
• Satz über die Umkehrfunktion.
• Satz über implizite Funktionen.
• Iterierte Integrale.
• Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Zielgruppe

Dieser Kurs richtet sich besonders an Studierende der Mathematik (Bachelor sowie Lehramt).

Voraussetzungen

Analysis I

Perspektiven

Diese Veranstaltung ist der zweite Teil des Vorlesungszyklus Analysis I-III.

Datenschutz

Zur Nachvollziehbarkeit obiger Scheinkriterien werden die auf den Übungszetteln erreichten Übungspunkte sowie die Teilnahme am Übungsbetrieb personenbezogen erfasst. Der Zugang zu diesen Daten beschränkt sich auf Lehrpersonal und Sekretariat. Die Zustimmung zu diesem Vorgehen gilt mit der Anmeldung zur Veranstaltung als erteilt.

Anmeldung

• Alle Teilnehmerinnen und Teilnehmer werden gebeten, sich im kommentierten Vorlesungsverzeichnis (Whiteboard) für die Vorlesung und eine der Übungen anzumelden. Ohne Anmeldung ist eine Teilnahme an den Übungen nicht möglich.
• Für Studierende von Bachelor- und Masterstudiengängen der FU ist darüber hinaus die verbindliche Anmeldung (und ggf. Abmeldung) im Campus Management erforderlich. Bitte beachten Sie die dort angegebenen Fristen. Für weitere Informationen und bei Problemen konsultieren Sie bitte die Hilfestellungen für Studierende des Campus-Managements.

Vorlesung

Die Vorlesung findet online statt. Die Teilnehmenden dieser Lehrveranstaltung (Anmeldung im kommentierten Vorlesungsverzeichnis!) erhalten die Zugangsdaten per E-Mail.

• 1. Vorlesung (2021-04-13)
  • Organisatorisches
  • Metrische Räume
  • Normierte Räume
• 2. Vorlesung (2021-04-15)
  • Induzierte Metrik auf normierten Räumen
  • Offene Kugeln und Umgebungen
  • Verschieden Normen auf \( \mathbb{R}^n\)
  • Hausdorffsche Trennungseigenschaft
• 3. Vorlesung (2021-04-20)
  • Offene und abgeschlossene Mengen
  • Äquivalenz von euklidischer Norm und Maximumsnorm
  • Rand, Inneres und Abschluss
• 4. Vorlesung (2021-04-22)
  • Konvergenz in metrischen Räumen
  • Eindeutigkeit von Grenzwerten in metrischen Räumen
  • Topologische Räume und Hausdorff-Räume
• 5. Vorlesung (2021-04-27)
  • Konvergenz in topologischen Räumen
  • Eindeutigkeit von Grenzwerten in Hausdorff-Räumen
  • Satz: Folgen in \(\mathbb{R}\) konvergieren genau dann, wenn sie komponentenweise konvergieren.
  • Vollständige metrische Räume
  • Satz: \(\mathbb{R}^n\) ist vollständig
• 6. Vorlesung (2021-04-29)
  • Durchmesser von Mengen und Schachtelungsprinzip
  • Stetigkeit in metrischen Räumen
  • Satz: In metrischen Räumen sind \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium und Folgenstetigkeit äquivalent
  • Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten und Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig
• 7. Vorlesung (2021-05-04)
  • Stetigkeit von Polynomen
  • Homöomorphismen
  • Satz: Der gleichmäßige Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen ist stetig.
  • Charakterisierun der Stetigkeit linearer Funktionen
  • Operatornorm auf \(L(X,Y) = \{ T:X \to Y \,|\, T \text{ linear und stetig } \}\)
• 8. Vorlesung (2021-05-06)
  • Definition: Eine Menge ist kompakt, wenn zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung existiert.
  • Satz: In metrischen Räumen gilt: \(A\) kompakt \(\Rightarrow\) \(A\) abgeschlossen und beschränkt
  • Konvergente Folgen in metrischen Räumen sind beschränkt.
  • Satz von Heine-Borel: In \(\mathbb{R}^n\) gilt: \(A\) kompakt \(\Leftrightarrow\) \(A\) abgeschlossen und beschränkt
• 9. Vorlesung (2021-05-11)
  • Abgeschlossene Quader in \(\mathbb{R}^n\) sind kompakt.
  • Satz: Stetige Funktionen bilden kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab.
  • Lemma: Kompakte Teilmengen von \(\mathbb{R}\) enthalten ihr Supremum und Infimum.
  • Satz: Stetige Funktionen \(f:K \to \mathbb{R}\) nehmen auf kompakten Mengen \(K\) Maximum und Minimum an.
• 10. Vorlesung (2021-05-18)
  • Stetigkeit der Abstandsfunktion zu gegebener Menge im metrischne Raum
  • Separation disjukter abgeschlossener/kompakter Mengen
  • Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede Folge in einer kompakten Teilmenge \(K\) eines metrischen Raums hat eine konvergente Teilfolge deren Grenzwert in \(K\) liegt.
  • Jede beschränkte Folge in \(\mathbb{R}^n\) hat eine konvergente Teilfolge.
  • Existenz von Minima koerziver, stetiger Funktionen auf \(\mathbb{R}^n\)
  • Satz: Stetige Funktionen auf Kompakta sind gleichmäßig stetig.
• 11. Vorlesung (2021-05-20)
  • Beweis: Stetige Funktionen auf Kompakta sind gleichmäßig stetig.
  • Beispiel: Beschränkte Folge in \(C([0,1])\) die keine konvergente Teilfolge hat
  • Stetige, differenzierbare, stetig differenzierbare Kurven
  • Graph und Bild einer Kurve
  • Interpretation von Kurven als zeitabhängiger Prozess
  • Ableitung bzw. Tangentialvektor einer Kurve
• 12. Vorlesung (2021-05-25)
  • Singuläre Punkte und reguläre Kurven
  • Schnittwinkel zwischen Kurven, Rektifizierbarkeit von Kurven
  • Satz: Eine stetig differenzierbare Kurzen sind rektifizierbar
  • Parametertransformation von Kurven
  • Richtungs, Winkel- und Längentreue von Transformationen
• 13. Vorlesung (2021-05-27)
  • Partielle Differenzierbarkeit
  • Beispiel: Partielle Diffrenzierbarkeit impliziert i.A. keine Stetigkeit
  • Divergenz und Gradient
  • Höhere partielle ABleitungen und stetige partielle Differenzierbarkeit
  • Satz von Schwarz: Sei \(f:U \to \mathbb{R}\) zweimal stetig partiell differenzierbar, dann gilt \(D_i D_j f = D_j D_i f\).
• 14. Vorlesung (2021-06-01)
  • Beweis des Satzes von Schwarz
  • Rotation und Laplace-Operartor
  • Beispiele: Laplace- und Poisson-Gleichung
• 15. Vorlesung (2021-06-03)
  • Beipiel: Wärmeleitungsgleichung
  • Beipiel: Wellengleichung
  • \(\Delta f\) für rotationssymmetrische Funktionen \(f\)
  • Newton-Potential in \(\mathbb{R}^n\) für \(n=1,2,3\dots\)
  • Definition totaler Differenzierbarkeit
• 16. Vorlesung (2021-06-08)
  • Satz: \(f\) diff.bar \(\Rightarrow\) \(f\) stetig und partiell diff.bar
  • Satz: \(f\) stetig partiell diff.bar \(\Rightarrow\) \(f\) diff.bar
  • Kettenregel
• 17. Vorlesung (2021-06-10)
  • Kettenregel und Gradienten
  • Der Gradient ist die Richtung des steilsten Anstiegs
  • Der Gradient steht senkrecht auf Niveaulinien
  • Mittelwertsatz in Integralform für \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)
• 18. Vorlesung (2021-06-15)
  • Mittelwertsatz mit Zwischenstelle für \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)
  • Der Mittelwertsatz mit Zwischenstelle gilt nicht für \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)
  • Lipschitzstetigkeit bei beschränkter Ableitung
  • Taylor-Formel für \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) mit Langrange'scher Restglieddarstellung
• 19. Vorlesung (2021-06-17)
  • Restgliedabschätzung für die Taylor-Formel
  • Bedeutung der Taylor-Formel: Lokale Approximation \(k\)-ter Ordnung von \(f\) durch das Taylor-Polynom \(k\)-ten Grades
  • Definition: Hesse-Matrix
  • Definition: Konvexe Mengen, konvexe und strikt konvexe Funktionen
  • Gradient, Hesse-Matrix und Konvexität quadratischer Funktionale
• 20. Vorlesung (2021-06-22)
  • Charakterisierung konvexer Funktionen \(f\) durch \(\nabla f\) und \(H_f\)
  • Notwendiges Kriterium für lokale Extrema: \(\nabla f(x) = 0\)
  • Eine konvexe Funktion liegt oberhalb all ihrer Tangenten
  • Für Minima konvexer Funktionen ist \(\nabla f(x) = 0\) hinreichend
  • Ist \(\nabla f(x) =0 \) und \(H_f(x)\) positiv definit, dann ist \(x\) ein lokales Minimum
• 21. Vorlesung (2021-06-24)
  • Hinreichende Kriterien für Extrema
  • Einschränkungen: semidefinite Hesse-Matrizen, Extrema am Rand
  • Kriterien für positive Definitheit der Hesse-Matrix
  • Ableitung impliziter Funktionen
• 22. Vorlesung (2021-06-29)
  • Banachscher Fixpunktsatz
  • Satz über implizite Funktionen
• 23. Vorlesung (2021-07-01)
  • Höhenlinien
  • Satz von der Umkehrabbildung
  • \(C^k\)-Diffeomorphismen
  • Gewöhnliche Differentialgleichungen
• 24. Vorlesung (2021-07-06)
  • Integraldarstllung von ODE-Lösungen
  • Anfangswertprobleme
  • Beispiel: Newton'sche Mechanik/Hamiltonsystem
  • Beispiel: Gradientenfluss
  • Nichtautonome und ODEs zweiter Ordnung als autonome ODE Systeme erster Ordnung
  • Flussoperator für autonome Systeme
• 25. Vorlesung (2021-07-08)
  • Satz: Die Flussoperatoren eines autonomen Systems bilden eine abelsche Gruppe
  • Berechnung von Lösungen durch Trennung der Variablen
  • Satz: Erfüllt die rechte Seite einer ODE eine lokale Lipschitz-Bedingung, so ist die Lösung eindeutig.
  • Satz von Picard-Lindelöf: Erfüllt die rechte Seite einer ODE eine lokale Lipschitz-Bedingung, so existiert eine lokale Lösung.
• 26. Vorlesung (2021-07-15)
  • Satz: Auf \(\mathbb{R}^n\) sind alle Normen äquivalent.
  • Satz: Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind alle Normen äquivalent.
  • Satz: Die Einheitskugel einer normierten Raums ist genau dann kompakt, wenn der Raum endlichdimensional ist.

  Übungsbetrieb und Scheinkriterien

  Zentralübung

  Die Zentralübung findet online statt. Sie soll zur Klärung grundsätzlicher inhaltlicher Fragen seitens der Studierenden dienen. Die Teilnehmerinnen und Teilnehmer dieser Lehrveranstaltung (Anmeldung im kommentierten Vorlesungsverzeichnis!) erhalten die Zugangsdaten per E-Mail.

  Tutorien

  • Es finden wöchentliche Tutorien statt. Dort werden Übungsaufgaben vor- und nachbesprochen sowie wichtige Aspekte der Vorlesung auf Nachfrage nochmals aufgegriffen und geklärt.
  • Es gibt vier Tutorien, die vorerst online via Cisco WebEx stattfinden. Dabei können die Online-Tutorien in Präsenz-Tutorien umgewandelt werden, wenn dies im Zuge aktueller Entwicklungen möglich ist.
  • Detailierte Hinweise zur Verwendung von Cisco WebEx finden sich hier. Die im jeweiligen Tutorium angemeldeten Studierenden erhalten die Zugangsdaten per E-Mail. Bitte sorgen Sie selbst für die nötige technische Ausstattung wie Rechner, Kamera, Headset und Internetanschluss.
  • Die Anmeldung zu den Tutorien (Zeit und Ort siehe Termine) erfolgt im kommentierten Vorlesungsverzeichnis und ist für das gesamte Semester verbindlich. Ein Wechsel der Tutorien ist nur in Absprache mit den beteiligten Tutoren möglich.

  Übungsaufgaben

  • Es gibt jede Woche hier einen neuen Übungszettel mit Aufgaben zu aktuellen Inhalten der Vorlesung.
  • Der Abgabetermin für die Lösungen ist jeweils auf dem Übungszettel vermerkt.
  • Die Lösungen der Aufgaben sollen in festen Gruppen von höchstens zwei Personen bearbeitet und abgegeben werden.
  • Alle Mitglieder einer Gruppe müssen in der Lage sein, alle abgegebenen Lösungen auf Nachfrage zu erklären. Bei Schwierigkeiten eine solche Gruppe zu finden, bitte den jeweiligen Tutor kontaktieren.
  • Sie dürfen Ihre Lösungen handschriftlich und gescanned oder auch direkt in LaTeX verfassen, am Ende sollte aber auf jeden Fall eine .pdf-Datei herauskommen. Die Namen aller Gruppenmitglieder und der Name Ihres zuständigen Tutors sind auf jedem abgegebenen Übungsblatt anzugeben.
  • Die Abgabe erfolgt per E-mail an Ihren zuständigen Tutor. Bitte reduzieren Sie vor dem Versenden nach Möglichkeit den Datenumfang.
  • Die Abgabe einer korrekten Lösung wird als Täuschungsversuch bewertet, wenn sie auf Nachfrage nicht erklärt werden kann.

  Scheinkriterien

  • Regelmäßige Teilnahme: (ggfls. non-virtuelle) Anwesenheit in den Tutorien sowie die Präsentation mindestens einer Übungsaufgabe im Tutorium.
  • Aktive Teilnahme: mindestens 60% der erreichbaren Punkten aus den Übungsaufgaben.
  • Individuelle Prüfungsleistung: Bestehen der Klausur.

  Die Note ergibt sich ausschließlich aus dem Ergebnis der Klausur bzw. Nachklausur. Die Note aus der Klausur kann durch die Nachklausur verbessert werden.

  Übungszettel

  In diesem Abschnitt werden die vorlesungsbegleitenden Übungsaufgaben veröffentlicht.

  • 1. Übungszettel
  • 2. Übungszettel
  • 3. Übungszettel
  • 4. Übungszettel
  • 5. Übungszettel
  • 6. Übungszettel
  • 7. Übungszettel
  • 8. Übungszettel
  • 9. Übungszettel
  • 10. Übungszettel
  • 11. Übungszettel
  • 12. Übungszettel

  Klausur

  • Klausur und Nachklausur finden zu den unter Termine genannten Zeiten statt. Weitere Einzelheiten werden zu gegebener Zeit bekannt gegeben.
  • Zur Klausur zugelassen sind grundsätzlich alle im Campusmanagement angemeldeten Studenten.
  • Der Klausurtermin ist nicht bindend, d.h. schlichtes Nichterscheinen kommt einem wirksamen Prüfungsrücktritt gleich. Eine Abmeldung ist also nicht erforderlich.
  • Achtung: Nach der am 1.10.2015 in Kraft getretenen Regelung der RSPO zur Begrenzung der Wiederholung von Prüfungsleistungen gilt eine als "nicht ausreichend" (5.0) bewertete Klausur als nicht bestandende Prüfungsleistung im Sinne der RSPO. Nicht bestandene Prüfungsleistungen dürfen insgesamt nur dreimal wiederholt werden.
  • Ausdrücklich nicht erlaubt sind technische Hilfsmittel jeglicher Art, also insbesondere sind Taschenrechner und Mobiltelefone verboten.

  Literatur

  • O. Forster: Analysis 1 und 2. Vieweg/Springer.
  • K. Königsberger: Analysis 1,2, Springer.
  • E. Behrends: Analysis Band 1 und 2, Vieweg/Springer.
  • H. Heuser: Lehrbuch der Analysis 1 und 2, Teubner/Springer.

  Kontakt

  Prof. Dr. Carsten Gräser (Dozent)	graeser@mi.fu-berlin.de	Arnimallee 6, Raum 121 Sprechstunde: Nach Vereinbarung
  Maren-Wanda Wolf (Assistentin)	mawolf@mi.fu-berlin.de	Arnimallee 6, Raum 122 Sprechstunde: Nach Vereinbarung
  Ferry Saavedra (Tutor)	ferry@zedat.fu-berlin.de