Analysis III

Aktuelles

• Die Aufgaben der Nachklausur finden Sie hier.
• Die Ergebnisse der Nachklausur finden Sie hier.
• Die Klausurergebnisse finden Sie hier.
• Die Vorlesung und Übung am Dienstag den 16.11.2021 fallen aus.

Termine

Allgemeines zur Vorlesung

Zielgruppe

Dieser Kurs richtet sich besonders an Studierende der Mathematik.

Voraussetzungen

Diese Vorlesung setzt die Vorlesungen Anaysis 1 und 2 sowie Teile der Vorlesung Lineare Algebra 1 voraus.

Perspektiven

Diese Veranstaltung ist der zweite Teil des Vorlesungszyklus Analysis I-III. Sie bildet eine wichtige Grundlage für viele weiterführende Veranstaltungen zu analytischen Themen, z.B. Funktionalanalysis, partielle Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Differentialgeometrie, Optimierung, Numerik partieller Differentialgleichungen, ... .

Datenschutz

Zur Nachvollziehbarkeit obiger Scheinkriterien werden die auf den Übungszetteln erbrachten Leistungen sowie die Teilnahme am Übungsbetrieb personenbezogen erfasst. Der Zugang zu diesen Daten beschränkt sich auf Lehrpersonal und Sekretariat. Die Zustimmung zu diesem Vorgehen gilt mit der Anmeldung zur Veranstaltung als erteilt.

Anmeldung

• Alle Teilnehmer werden gebeten, sich im kommentierten Vorlesungsverzeichnis (Whiteboard) für die Vorlesung anzumelden. Ohne Anmeldung ist eine Teilnahme an den Übungen nicht möglich.
• Für Studierende von Bachelor- und Masterstudiengängen der FU ist darüber hinaus die verbindliche An- und Abmeldung im Campus Management erforderlich. Bitte beachten Sie die dort angegebenen Fristen. Für weitere Informationen und bei Problemen konsultieren Sie bitte die Hilfestellungen für Studierende des Campus-Managements.

Vorlesung

Die Vorlesung und Übung der Analysis 3 werden auf Grundlage der aktuellen Beschlüsse der FU Berlin als Präsenzveranstaltung durchgeführt. Sollte sich die Beschlusslage ändern, werden wir ggf. auf ein Online-Format umstellen. Das wird dann aber ebenfalls bekanntgegeben.

Für alle Teilnehmenden in Präsenz gelten die 3G-Regeln (geimpft, genesen, getestet). Bezüglich des 3G-Status wird es regelmäßige Kontrollen geben. Wer den Status nicht nachweisen kann, muß die Gebäude der FU verlassen. Aufgrund der 3G-Kontrollen wird darum gebeten, stets rechtzeitig einige Minuten vor Veranstaltungbegin zu erscheinen. Der Nachweis eines negativen Tests muss jeweils für die Tage der Präsenzveranstaltung erfolgen (siehe auch Dritte SARS-CoV-2-Infektionsschutzmaßnahmenverordnung) und bei jeder Teilnahme vorgelegt werden. Es sind nur Tests zertifizierter Leistungserbringer nach § 6 Absatz 1 der Coronavirus-Testverordnung zugelassen (keine Selbsttest, siehe auch COVID-19-Schutzmaßnahmen-Ausnahmenverordnung – SchAusnahmV –).

Bei der Teilnahme in Präsenz ist zudem eine Maske zu tragen, da die Mindestabstände von 1,50m unterschritten werden. Es sind mindestens medizinische Masken erforderlich, FFP2-Masken werden empfohlen.

Für die Kontaktverfolgung verwenden wir die Web-Anwendung a.nwesen.de (weitere Informationen).

Die Klausur wird – nach aktuellem Stand – ebenfalls als Präsenzprüfung durchgeführt werden.

Die Vorlesungsnotizen werden hier bereitgestellt:

• 1. Vorlesung (2021-10-19)
  • Organisatorisches
  • Wazu benötigt man mehrdimensionale Integration?
  • Motivation und Ausblick
• 2. Vorlesung (2021-10-21)
  • Mengenalgebren und \(\sigma\)-Algebren
  • Prämaße und Maße
• 3. Vorlesung (2021-10-26)
  • Bsp: Diskreter Maßraum
  • Definition und eigenschaften von Mengenringe
• 4. Vorlesung (2021-10-28)
  • Produkte von Mengenringen
  • Der Mengenring der Quadersummen
  • Erzeugte \(\sigma\)-Algebren
  • Borel \(\sigma\)-Algebra auf topologischen Räumen
  • Satz: Die Borel \(\sigma\)-Algebra auf \(\mathbb{R}^n\) wird von den endlichen Quadersummen erzeugt
• 5. Vorlesung (2021-11-02)
  • Beweis: Die Borel \(\sigma\)-Algebra auf \(\mathbb{R}^n\) wird von den endlichen Quadersummen erzeugt
  • Inhalte und Prämaße auf Mengenringen
  • Lebesgue-Prämaß für Quader
  • Wohldefiniertheit des Lebesgue-Prämaßes für endliche Quadersummen
• 6. Vorlesung (2021-11-04)
  • Satz: Der Lebesgue-Inhalt ist ein Prämaß auf den endlichen Quadersummen
  • Approximation halboffener Quader durch offene und abgeschlossene Quader
  • Lemma: Für einen Inhalt auf einem Mengenring ist \(\sigma\)-Additivität äquivalent zu \(\sigma\)-Subadditivität
  • Ausblick: Erweiterung von Prämaßen auf Mengenringen zu Maßen auf \(\sigma\)-Algebren über das äußere Maß
• 7. Vorlesung (2021-11-09)
  • Monotone Grenzwerte in Mengenringen
  • Äußere Maße
  • Von einem Prämaß erzeugtes äußeres Maß
  • Vom äußeren Maß erzeugte Pseudometrik und \(\Sigma\)-Approximierbarkeit
  • Satz: Sei \(\mu^*\) das von einem endlichen Prämaß auf einem Mengenring \(\Sigma\) erzeugte äußere Maß. Dann bilden die bezüglich \(\mu^*\) \(\Sigma\)-approximierbaren Mengen eine \(\sigma\)-Algebra.
• 8. Vorlesung (2021-11-11)
  • Maßerweiterungssatz: Die Fortsetzung eines endlichen Prämaßes auf die \(\sigma\)-Algebra der approximierbaren Mengen ist eindeutig und durch das äußere Maß gegeben.
  • Maßerweiterungssatz: Die Fortsetzung eines \(\sigma\)-endlichen Prämaßes auf die erzeugte \(\sigma\)-Algebra ist eindeutig und durch das äußere Maß gegeben.
• 9. Vorlesung (2021-11-18)
  • Maßerweiterungssatz: Fortsetzung des Beweises
  • Lebesgue-Borel-Maß
  • Definition und Beispiele für Nullmengen
  • Vollständige Maßräume und Vervollständigung von Maßräumen
• 10. Vorlesung (2021-11-23)
  • Charakterisierung von Nullmengen durch Überdeckung mit kompakten Würfeln
  • Messbare Funktionen
  • Satz: Messbarkeit von Funktionen läßt sich bereits durch Erzeugendensysteme des Bildmessraums charakterisieren
  • Satz: Stetige Funktionen sind messbar bezüglich der Borel \(\sigma\)-Algebren
  • Vererbung von Messbarkeit auf Vielfache, Summen, Produkte, Maxima, ... messbarer Funktionen
• 11. Vorlesung (2021-11-25)
  • Definition einfacher Funktionen
  • Definition des Integrals nicht-negativer einfacher Funktionen
  • Satz: Jede nicht-negative messbare Funktion läßt sich monoton durch einfache Funktionen (punktweise) approximieren
  • Diskussion: Warum ist die Approximation hier per Definition möglich, während man für Riemann-Integrierbarkeit z.B. Stetigkeit benötigt?
• 12. Vorlesung (2021-11-30)
  • Eigenschaften des Integrals einfacher Funktionen (normiert, linear, monoton, stetig bzgl. monotoner Approximation)
  • Definition: Integral nicht-negativer messbarer Funktionen
  • Definition: Integrierbare Funktionen
• 13. Vorlesung (2021-12-02)
  • Das Integral nicht-negativer messbarer Funktionen ist wohldefiniert (bzw. hängt nicht von der konkreten Approximation durch einfache Funktionen ab)
  • Eigenschaften des Integrals nicht-negativer messbarer Funktionen
  • Eigenschaften des Integrals integrierbarer Funktionen (linear, monoton, Verträglichkeit mit der Norm)
  • Integrierbarkeit über Teilmengen
  • Notation: "fast überall"
• 14. Vorlesung (2021-12-07)
  • Bedeutung von "fast überall", Testen mit Funktionen
  • Robuste Eigenschaften bezüglich Änderungen auf Nullmengen
  • Der Funktionsraum \(\mathcal{L}^1(\Omega,\mu)\)
  • Eigenschaften des Integraloperators \(I:\mathcal{L}^1(\Omega,\mu) \to \mathbb{R}\)
  • Die \(L^1\)-Halbnorm auf \(\mathcal{L}^1(\Omega,\mu)\)
• 15. Vorlesung (2021-12-09)
  • Maße mit Dichte
  • Satz von der monotonen Konvergenz (Satz von Beppo Levi)
  • Satz: Riemann-integrierbare Funktionen auf kompakten Intervallen sind Lebesgue-integrierbar
  • Bemerkung: Es gibt Lebesgue- aber nicht Riemann-integrierbare Funktionen
• 16. Vorlesung (2021-12-14)
  • Satz von der majorisierten Konvergenz (Konvergenzsatz von Lebesgue)
  • Approximation des Lebesgue-Integrals durch Ausschöpfung
  • Uneigentlich Riemann-integrierbare Funktionen müssen nicht Lebesgue-integrierbar sein
  • Bezug von uneigentlichem Riemann- und Lebesgue-Integral zu konvergenten und absolut konvergenten Reihen
• 17. Vorlesung (2021-12-16)
  • Äquivanlenzklassen von Funktionen
  • Der Funktionsraum \(L^1(\Omega,\mu)\)
• 18. Vorlesung (2022-01-04)
  • Dichte Unterräume von \(L^1(\Omega,\mu)\)
  • Satz: Der Raum der elementaren Treppenfunktionen ist dichte in \(L^1(\Omega,\mu)\)
  • Satz: Für offenes \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) ist \(C_\text{c}(\Omega)\) dichte in \(L^1(\Omega)\)
  • Der Funktionsraum \(L^1_\text{loc}(\mathbb{R}^n)\)
  • Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen: Punktweise, gleichmäßig, fast überall, \(L^1\)-Konvergenz
• 19. Vorlesung (2022-01-06)
  • \(L^1\)-Grenzwerte sind f.ü. eindeutig
  • Kriterium für \(L^1\)-Konvergenz von Reihen integrierbarer Funktionen
  • Satz: Jede Cauchy-Folge in \(\mathcal{L}^1(\Omega,\mu)\) konvergiert bezüglich \(\|\cdot\|_{L^1}\)
  • Korollar: \(L^1(\Omega,\mu)\) ist ein Banachraum
  • Korollar: Jede \(L^1\)-konvergente Folgen hat eine f.ü. konvergente Teilfolge.
  • Dichte Einbettung \(C_c(\mathbb{R}^n) \subset L^1(\mathbb{R}^n)\).
• 20. Vorlesung (2022-01-11)
  • Translationen, Orthogonalmatrizen und Bewegungen
  • Lemma: Das Lebesgue-Maß ist translationsinvariant.
  • Satz: Jedes translationsinvariante Maß \(\mu\) auf \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\) mit \(0<\mu(B_0)<\infty\) für mindestens eine offene, beschränkte, nichtleere Menge \(B_0\) stimmt bis auf Vielfache mit dem Lebesgue-Maß überein.
  • Satz: Für jede reguläre Matrix \(T \in \mathbb{R}^{n\times n}\) gilt \(\lambda^n \circ T = |\operatorname{det} T| \lambda^n\).
• 21. Vorlesung (2022-01-13)
  • Integration bezüglich des Bildmaßes
  • Affine lineare Transformation von Integralen
  • Cavalierisches Prinzip
  • Satz von Tonelli
• 22. Vorlesung (2022-01-18)
  • Satz von Fubini
  • Transformationsformel für glatte Funktionen
  • Transformationsformel für \(L^1\)-Funktionen
• 23. Vorlesung (2022-01-20)
  • Integration in Polarkoordinaten
  • Partielle Integration für Funktionen mit kompaktem Träger
  • Motivation: Randintegral bei partieller Integration auf Quadern
• 24. Vorlesung (2022-01-25)
  • Divergenzsatz
  • Definition von Untermannigfaltigkeiten durch lokale Levelset-Darstellung
  • Lokale Graphendarstellung von Untermannigfaltigkeiten
• 25. Vorlesung (2022-01-27)
  • Relativtopologie
  • Immersionen
  • Darstellung von Untermannigfaltigkeiten durch Karten
  • Metrischer Tensor und Gramsche Determinante
• 26. Vorlesung (2022-02-01)
  • Parametertransformation/Kartenwechsel
  • Definition des Integrals über Untermannigfaltigkeiten mit einer Karte
• 27. Vorlesung (2022-02-03)
  • Beispiel: Flächeninhalt des Graphen einer Funktion
  • Definition von Tangentialvektoren und Tangentialraum
  • Darstellung des Tangentialraums durch eine Karte
  • Definition des Normalenvektors
  • Kompakte Mengen mit glattem Rand
  • Satz: Der Rand einer kompakten Menge mit glattem Rand ist eine Untermannigfaltigkeit
• 28. Vorlesung (2022-02-08)
  • Äußeres Einheitsnormalenfeld von kompakten Mengen mit glattem Rand
  • Satz: Gaußscher Integralsatz/Divergenzsatz
  • Korollar: Partielle Integration
  • Lemma: Gaußscher Integralsatz für lokale Graphendarstellung
• 29. Vorlesung (2022-02-10)
  • Beweis des Gaußschen Integralsatzes
  • Greensche Formel
  • Ausblick: Schwache Formulierung der Poisson-Gleichung

Übungsbetrieb und Scheinkriterien

Tutorien

Ab der 2. Semesterwoche finden regelmäßig Tutorien statt.

Tutorien

Ab der 2. Semesterwoche finden regelmäßig Tutorien statt. In diesen Tutorien werden Übungsaufgaben vor- und nachbesprochen. Außerdem werden einige Aspekte der Vorlesung nochmals aufgegriffen.

Übungszettel

In diesem Abschnitt werden die vorlesungsbegleitenden Übungsaufgaben veröffentlicht.

• Übungszettel 1
• Übungszettel 2
• Übungszettel 3
• Übungszettel 4
• Übungszettel 5
• Übungszettel 6
• Übungszettel 7
• Übungszettel 8
• Übungszettel 9
• Übungszettel 10

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