Analysis I

Aktuelles

• Die Nachklausurergebnisse finden Sie hier.
• Die Klausurergebnisse finden Sie hier.
• Die Zentralübung fällt am Mittwoch, dem 03.02.2021, aus.
• Das elfte Übungsblatt ist online.
• Das zehnte Übungsblatt ist online.
• Das neunte Übungsblatt ist online.
• Das achte Übungsblatt ist online.
• Das siebte Übungsblatt ist online.
• Das sechste Übungsblatt ist online.
• Das fünfte Übungsblatt ist online.
• Auf dem 4. Übungsblatt war ein Tippfehler in Aufgabe 2b). Es sollte der Grenzwert für \(k\to \infty\) betrachtet werden. Das korrigierte Aufgabenblatt ist unten zu finden.
• Das vierte Übungsblatt ist online.
• Das dritte Übungsblatt ist online.
• Das zweite Übungsblatt ist online.
• Das erste Übungsblatt ist online.
• Vor dem Hintergrund aktueller Maßnahmen zur Eindämmung der Pandemie finden alle Tutorien bis auf Weiteres ausschließlich online statt.
• Die Auswirkungen der aktuellen Entwicklung der Pandemie auf die Präsenzlehre finden Sie hier.

Allgemeines zur Vorlesung

Termine

Inhalt

Dies ist der erste Teil einer Einführung in die mathematische Grunddisziplin Analysis. Behandelt wird die Differential- und Integralrechnung in einer reellen Veränderlichen. Themen:

• Die reellen Zahlen
• Der Grenzwertbegriff (Folgen und Reihen)
• Funktionen (Stetigkeit und Differenzierbarkeit)
• Minima und Maxima differenzierbarer Funktionen, Extremwertrechnung
• Das Riemannsche Integral

Zielgruppe

Dieser Kurs richtet sich besonders an Studierende der Mathematik (Bachelor sowie Lehramt).

Voraussetzungen

Grundzüge der Schulmathematik. Dieser Kurs ist für Studienanfängerinnen und -anfänger geeignet.

Perspektiven

Diese Veranstaltung ist der erste Teil des Vorlesungszyklus Analysis I-III.

Datenschutz

Zur Nachvollziehbarkeit obiger Scheinkriterien werden die auf den Übungszetteln erreichten Übungspunkte sowie die Teilnahme am Übungsbetrieb personenbezogen erfasst. Der Zugang zu diesen Daten beschränkt sich auf Lehrpersonal und Sekretariat. Die Zustimmung zu diesem Vorgehen gilt mit der Anmeldung zur Veranstaltung als erteilt.

Anmeldung

• Alle Teilnehmerinnen und Teilnehmer werden gebeten, sich im kommentierten Vorlesungsverzeichnis (Whiteboard) für die Vorlesung und eine der Übungen anzumelden. Ohne Anmeldung ist eine Teilnahme an den Übungen nicht möglich.
• Für Studierende von Bachelor- und Masterstudiengängen der FU ist darüber hinaus die verbindliche Anmeldung (und ggf. Abmeldung) im Campus Management erforderlich. Bitte beachten Sie die dort angegebenen Fristen. Für weitere Informationen und bei Problemen konsultieren Sie bitte die Hilfestellungen für Studierende des Campus-Managements.

Vorlesung

Die Vorlesung findet online statt. Die Teilnehmenden dieser Lehrveranstaltung (Anmeldung im kommentierten Vorlesungsverzeichnis!) erhalten die Zugangsdaten per E-Mail.

• 1. Vorlesung (2020-11-03)
  • Organisatorisches
  • Mengen, Operationen auf Mengen, kartesiches Produkt
  • Abbildungen und Eigenschaften von Abbildungen
• 2. Vorlesung (2020-11-05)
  • natürliche Zahlen
  • vollständige Induktion
  • Äquivalenzrelationen
• 3. Vorlesung (2020-11-10)
  • Beispiele für Äquivalenzrelationen
  • Organisatorisches, Vorlesungsbetrieb, Literatur
  • Welche Zahlenmengen benötigen wir?
  • Eigenschaften von Körpern
  • Fahrplan: sukzessive Konstruktion von \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}\) und \(\mathbb{R}\)
• 4. Vorlesung (2020-11-12)
  • Peano-Axiome, Addition in \(\mathbb{N}\)
  • Definition von \(\mathbb{Z}\) als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen
  • Addition in \(\mathbb{Z}\), Verträglichkeit mit \(\mathbb{N}\)
  • \(\mathbb{Z}\) ist abelsche Gruppe.
• 5. Vorlesung (2020-11-17)
  • Multiplikation in \(\mathbb{Z}\)
  • Definition von \(\mathbb{Q}\) als Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen
  • Addition und Multiplikation in \(\mathbb{Q}\), Verträglichkeit mit \(\mathbb{Z}\)
  • \(\mathbb{Q}\) ist total geordneter Körper
  • Definition von Betragsfunktion, Folgen und Konvergenz
• 6. Vorlesung (2020-11-19)
  • Eingenschaften konvergenter Folgen in \(\mathbb{Q}\)
  • Konvergente Folgen in \(\mathbb{Q}\) sind Cauchy-Folgen
  • Cauchy-Folgen müssen in \(\mathbb{Q}\) nicht konvergieren
  • Definition von \(\mathbb{R}\) als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen
  • Addition und Multiplikation in \(\mathbb{R}\), Verträglichkeit mit \(\mathbb{Q}\)
  • \(\mathbb{R}\) ist ein Körper, \(\mathbb{Q}\) ist in \(\mathbb{R}\) eingebettet
• 7. Vorlesung (2020-11-24)
  • \(\mathbb{R}\) ist total geordnet
  • Archimedisches Prinzip in \(\mathbb{R}\)
  • Konvergente Folgen und Cauchy-Folgen in \(\mathbb{R}\)
  • Satz (Vollständigkeit): Jede Cauchy-Folge in \(\mathbb{R}\) konvergiert.
  • \(\mathbb{R}\) ist ein archimedisch geordneter, vollständiger Körper
• 8. Vorlesung (2020-11-26)
  • Intervalle, \(\epsilon\)-Umgebungen, Kugeln
  • Monotone, beschränkte, divergente, uneigentlich-konvergente Folgen
  • Häufungspunkte
  • Satz (Bolzano-Weierstraß): Jede beschränkte Folge in \(\mathbb{R}\) hat eine konvergente Teilfolge.
  • Konvergenz monotoner Folgen
  • Definition konvergenter Reihen
• 9. Vorlesung (2020-12-01)
  • Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstraß
  • Beweis der Konvergenz beschränkter monotoner Folgen
  • Divergenz der harmonischen Reihe
  • Konvergenz der geometrischen Reihe
  • Cauchy-, Leibniz- und Majoranten-Kriterium
  • Definition absolut konvergenter Reihen
  • Absolut konvergente Reihen sind konvergent.
• 10. Vorlesung (2020-12-03)
  • Majoranten- und Quotienten-Kriterium für absolut konvergente Reihen
  • Satz (Umordnungssatz): Umordnungen absolut konvergenter Reihen konvergieren absolut gegen den gleichen Grenzwert.
  • Eigenschaften konvergenter, nicht absolut konvergenter Reihen
  • Definition der Exponentialfunktion
  • Cauchy-Produkt von Reihen
  • Funktionalgleichung der Exponentialfunktion
• 11. Vorlesung (2020-12-08)
  • Exponentialfunktion: Positivität, Inverse, Monotonie, Restgliedabschätzung
  • B-adische Brüche
  • Satz: \(\mathbb{R} \) ist die Menge der positiven und negativen unendlichen B-adischen Brüche
  • Abzählbarkeit
  • Satz: Abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen sind abzählbar.
  • Satz: Endliche Produkte abzählbarer Mengen sind abzählbar.
• 12. Vorlesung (2020-12-10)
  • Abzählbarkeit von \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\)
  • Überabzählbarkeit von \(\mathbb{R}\)
  • Umgebungen, offene und abgeschlossene Mengen
  • Charakterisierung und Eigenschaften offener Mengen
• 13. Vorlesung (2020-12-15)
  • Charakterisierung und Eigenschaften abgeschlossener Mengen
  • Abschluss, Inneres und Rand einer Menge
  • Berührpunkte und Häufungspunkte einer Menge
  • Sumpremum und Infimum einer Menge
  • Kompaktheit
  • Stetigkeit: \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriterium, Folgenkriterium
• 14. Vorlesung (2020-12-17)
  • Satz: \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriterium und Folgenkriterium für Stetigkeit sind äquivalent
  • Stetigkeit und offene Mengen
  • Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten stetiger Funktionen sind stetig
  • Polynome, rationale Funktionen, die Exponentialfunktion und die Betragsfunktion sind stetig
  • Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig
  • Zwischenwertsatz
• 15. Vorlesung (2021-01-05)
  • Folgerungen aus dem Zwischenwertsatz
  • Satz: Stetige Funktionen nehmen auf kompakten Mengen Maximum und Minimum an.
  • Inverse von streng monotonen stetigen Funktionen
  • Natürlicher Logarithmus: Inverse der Exponentialfunktion, Stetigkeit, Rechenregeln
• 16. Vorlesung (2021-01-07)
  • Funktionsgrenzwerte
  • Bilder von Intervallen bei stetigen Funktionen
  • Wurzelfunktionen \(x \mapsto \sqrt[n]{x} \)
  • Exponentialfunktionen \(x \mapsto a^x\) für \(a>0\)
  • Gleichmäßige Stetigkeit (Definition, glm. stetig \(\Rightarrow\) stetig, stetig \(\nRightarrow\) glm. stetig)
• 17. Vorlesung (2021-01-12)
  • Satz: Stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig.
  • Approximation gleichmäßig stetiger Funktionen durch Treppenfunktionen
  • Lipschitz-Stetigkeit, Hölder-Stetigkeit
  • Differenzierbarkeit und Ableitung
• 18. Vorlesung (2021-01-14)
  • Differenzierbarkeit, Approximation durch lineare Funktionen, Restterm
  • Beispiele differenzierbarer Funktionen
  • Satz: \(f\) diff.bar in \(x\) \(\implies\) \(f\) stetig in \(x\)
  • Linerität des Ableitungsoperators
  • Produktregel und Quotientenregel
  • Wenn \(f\) diff.bar und \(f=g\) auf \(B_\varepsilon(x)\) impliziert \(f'(x)=g'(x)\).
  • Beispiel: \(f\) stetig in \(x\) \(\nRightarrow\) \(f\) diff.bar in \(x\)
• 19. Vorlesung (2021-01-19)
  • Kettenregel
  • Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung
  • Notwendiges Kriterium für lokale Extrama
  • Satz von Rolle
  • Mittelwertsatz der Differentialrechnung
• 20. Vorlesung (2021-01-21)
  • Monotonie und Ableitungen
  • Differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung sind Lipschitz-stetig.
  • Ableitungen höherer Ordnung
  • Konvexe Funktionen
  • Charakterisierung konvexer Funktionen durch erste und zweite Ableitung
  • Extrema und lokale Konvexität
• 21. Vorlesung (2021-01-26)
  • Hinreichendes Kriterium für lokale Minima
  • Limes superior und Limes inferior
  • Landau-Symbole
  • Einseitige Funktionsgrenzwerte
  • Regel von de l'Hospital
• 22. Vorlesung (2021-01-28)
  • Regel von de l'Hospital (Beweis)
  • Komplexe Zahlen \(\mathbb{C}\)
  • Realteil, Imaginärteil und imaginäre Einheit \(i, i^2=-1\)
  • Konvergente Folgen und Cauchy-Folgen in \(\mathbb{C}\)
  • \(\mathbb{C}\) ist ein vollständiger Körper
• 23. Vorlesung (2021-02-02)
  • Absolute konvergenz der komplexen Exponentialreihe
  • Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion
  • \(\operatorname{exp}:\mathbb{C} \to \mathbb{C}\) ist stetig
  • Definition: \(\operatorname{cos}(x) = \operatorname{Re} (\operatorname{exp}(ix)) \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) und \(\operatorname{sin}(x) = \operatorname{Im}(\operatorname{exp}(ix)) \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
  • Eigenschaften und Reihendarstellung von \(\operatorname{cos}\) und \(\operatorname{sin}\)
• 24. Vorlesung (2021-02-04)
  • Werte von \(\operatorname{exp}(i\tfrac{k}{2}\pi)\), \(\operatorname{cos}(\tfrac{k}{2}\pi)\) und \(\operatorname{sin}(i\tfrac{k}{2}\pi)\)
  • Periodizität und Nullstellen von \(\operatorname{cos}\) und \(\operatorname{sin}\)
  • Definition von \(\operatorname{tan}\) und \(\operatorname{cot}\)
  • Inverse trigonometrischer Funktionen: \(\operatorname{arccos}\), \(\operatorname{arcsin}\), \(\operatorname{arctan}\)
  • Differenzierbarkeit von \(\operatorname{cos}\) und \(\operatorname{sin}\)
  • Polarkoordinaten: \(\forall z\in \mathbb{C}\setminus\{0\} \exists! (r,\phi) \in \mathbb{R}^+ \times [0,2\pi): z=e^{i\phi}\)
• 25. Vorlesung (2021-02-09)
  • Multiplikation mit Polarkoordinaten
  • \(n\)-te Einheitswurzeln in \(\mathbb{C}\)
  • Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
  • Gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz
  • Punktweise Konvergenz impliziert im Allgemeinen keine gleichmäßige Konvergenz
  • Satz: Gleichmäßige Grenzwerte von Folgen stetiger Funktionen sind stetig
• 26. Vorlesung (2021-02-11)
  • Konvergenzkriterium von Weierstraß für Reihen von Funktionen
  • Potenzreihen mit Entwicklungspunkt \(x_0\)
  • Konvergenzradius \(R\) von Potenzreihen
  • Absolute Konvergenz auf \(B_R(x_0)\)
  • Gleichmäßige Konvergenz auf \(\overline{B_r(x_0)}\) für \(r<R\)
  • Beispiel: Potenzreihen für \(\operatorname{exp}, \operatorname{cos}, \operatorname{sin}\)
  • Beziehung von Potenzreihe und Taylor-Reihe
• 27. Vorlesung (2021-02-16)
  • Der Vektorraum der Treppenfunktionen
  • Integral von Treppenfunktionen: Definition, Linearität, Monotonie
  • Definition des Riemann-Integrals
  • Kriterium für Riemann-Integrierbarkeit
  • Satz: Jede stetige Funktion \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) ist Riemann-integrierbar.
• 28. Vorlesung (2021-02-18)
  • Integrierbarkeit monotoner Funktionen
  • Linearität und Monotonie des Integrals
  • Satz: Mit \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) sind auch \(f_+,f_-, |f|\) integrierbar und es gilt \(|\int_a^bf(x)dx|\leq \int_a^b|f(x)|dx\).
  • Mittelwertsatz der Integralrechnung
• 29. Vorlesung (2021-02-23)
  • Mittelwerte von Funktionen
  • Stammfunktionen und unbestimmte Integrale
  • Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
  • Integraltransformation (Substitutionsregel)
  • Partielle Integration
• 30. Vorlesung (2021-02-25)
  • Taylor-Polynome als Partialsumme der Taylor-Reihe
  • Taylor-Approximation als Verallgemeinerung von Tangenten
  • Taylor-Formel und Restglied
  • Intergral-, Lagrange- und Peano-Darstellung des Restglieds
  • Approximationssatz von Weierstraß

Übungsbetrieb und Scheinkriterien

Zentralübung

Die Zentralübung findet ab der 2. Semesterwoche online statt. Sie soll zur Klärung grundsätzlicher inhaltlicher Fragen seitens der Studierenden dienen. Die Teilnehmerinnen und Teilnehmer dieser Lehrveranstaltung (Anmeldung im kommentierten Vorlesungsverzeichnis!) erhalten die Zugangsdaten per E-Mail.

Tutorien

• Nach der ersten Vorlesung (03.11.2020) finden wöchentliche Tutorien statt. Dort werden Übungsaufgaben vor- und nachbesprochen sowie wichtige Aspekte der Vorlesung auf Nachfrage nochmals aufgegriffen und geklärt.
• Es gibt vier Tutorien, die vorerst online via Cisco WebEx stattfinden. Dabei können die Online-Tutorien in Präsenz-Tutorien umgewandelt werden, wenn dies im Zuge aktueller Entwicklungen möglich ist.
• Detailierte Hinweise zur Verwendung von Cisco WebEx finden sich hier. Die im jeweiligen Tutorium angemeldeten Studierenden erhalten die Zugangsdaten per E-Mail. Bitte sorgen Sie selbst für die nötige technische Ausstattung wie Rechner, Kamera, Headset und Internetanschluss.
• Die Anmeldung zu den Tutorien (Zeit und Ort siehe Termine) erfolgt im kommentierten Vorlesungsverzeichnis und ist für das gesamte Semester verbindlich. Ein Wechsel der Tutorien ist nur in Absprache mit den beteiligten Tutoren möglich.

Übungsaufgaben

• Es gibt jede Woche hier einen neuen Übungszettel mit Aufgaben zu aktuellen Inhalten der Vorlesung.
• Der Abgabetermin für die Lösungen ist jeweils auf dem Übungszettel vermerkt.
• Die Lösungen der Aufgaben sollen in festen Gruppen von höchstens zwei Personen bearbeitet und abgegeben werden.
• Alle Mitglieder einer Gruppe müssen in der Lage sein, alle abgegebenen Lösungen auf Nachfrage zu erklären. Bei Schwierigkeiten eine solche Gruppe zu finden, bitte den jeweiligen Tutor kontaktieren.
• Sie dürfen Ihre Lösungen handschriftlich und gescanned oder auch direkt in LaTeX verfassen, am Ende sollte aber auf jeden Fall eine .pdf-Datei herauskommen. Die Namen aller Gruppenmitglieder und der Name Ihres zuständigen Tutors sind auf jedem abgegebenen Übungsblatt anzugeben.
• Die Abgabe erfolgt per E-mail an Ihren zuständigen Tutor. Bitte reduzieren Sie vor dem Versenden nach Möglichkeit den Datenumfang.
• Die Abgabe einer korrekten Lösung wird als Täuschungsversuch bewertet, wenn sie auf Nachfrage nicht erklärt werden kann.

Scheinkriterien

• Regelmäßige Teilnahme: (ggfls. non-virtuelle) Anwesenheit in den Tutorien sowie die Präsentation mindestens einer Übungsaufgabe im Tutorium.
• Aktive Teilnahme: mindestens 60% der erreichbaren Punkten aus den Übungsaufgaben.
• Individuelle Prüfungsleistung: Bestehen der Klausur.

Die Note ergibt sich ausschließlich aus dem Ergebnis der Klausur bzw. Nachklausur. Die Note aus der Klausur kann durch die Nachklausur verbessert werden.

Übungszettel

In diesem Abschnitt werden die vorlesungsbegleitenden Übungsaufgaben veröffentlicht.

• 1. Übungszettel
• 2. Übungszettel
• 3. Übungszettel
• 4. Übungszettel
• 5. Übungszettel
• 6. Übungszettel
• 7. Übungszettel
• 8. Übungszettel
• 9. Übungszettel
• 10. Übungszettel
• 11. Übungszettel
• 12. Übungszettel
• 13. Übungszettel

Klausur

• Klausur und Nachklausur finden zu den unter Termine genannten Zeiten statt. Weitere Einzelheiten werden zu gegebener Zeit bekannt gegeben.
• Zur Klausur zugelassen sind grundsätzlich alle im Campusmanagement angemeldeten Studenten.
• Der Klausurtermin ist nicht bindend, d.h. schlichtes Nichterscheinen kommt einem wirksamen Prüfungsrücktritt gleich. Eine Abmeldung ist also nicht erforderlich.
• Achtung: Nach der am 1.10.2015 in Kraft getretenen Regelung der RSPO zur Begrenzung der Wiederholung von Prüfungsleistungen gilt eine als "nicht ausreichend" (5.0) bewertete Klausur als nicht bestandende Prüfungsleistung im Sinne der RSPO. Nicht bestandene Prüfungsleistungen dürfen insgesamt nur dreimal wiederholt werden.
• Ausdrücklich nicht erlaubt sind technische Hilfsmittel jeglicher Art, also insbesondere sind Taschenrechner und Mobiltelefone verboten.

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